[4점공략] 2019 수능 수학 가형 21번

 

 

 

2019 수능 수학 가형 21번 문제입니다.

 

평소의 출제 경향 답게 미적분 문제가 21번에 배치되었습니다.

 

객관식 문제 중에서 가장 어려운 문제가 나올 것이라고 예상되는 문항인데 이번에는 크게 어렵지 않은 문제가 출제된 듯합니다.

 

처음에 문제를 보고 방향만 잘 잡는다면 복잡한 생각이나 계산과정 없이 쉽게 답을 낼 수 있는 문제입니다.

 

그럼 문제 풀이에 들어가보겠습니다.

 

 

 

조건 (가)를 확인합니다.

 

 

위와 같이 여러 개의 f가 등장하는 식에서 생각해볼 것은 어느 정도 정해져 있습니다.

 

 

- 식에 대한 어느 변형도 없이 숫자 대입만으로 단서를 얻을 수 있는가.

 

주어진 식에 알고있는 함숫값을 이용하여 다른 함숫값을 찾거나, 더 나아가서 이를 연쇄적으로 적용하여 일반화할 수 있는지를

 

따지는 것입니다. 예를 들어, f(1)을 알고 있다면 이를 주어진 식에 x=1을 대입하여 f(2)를 구하고, 이를 이용하여 f(4), f(8), ...을

 

구할 수 있는가를 보는 것입니다. 조건 (가)의 경우 도함수가 곱해진 복잡한 꼴이기 때문에 이를 적용하는 건 어려울 듯합니다.

 

 

 

- 함수의 일반적 정의인가.

 

즉,

 

와 같이 함수를 정의해 놓는 경우가 있습니다.

 

이런 형태가 나오면 f(x)를 좌변으로 이항하고 양변을 y로 나누는 방식으로 미분계수의 정의 형태를 만들려고 하죠.

 

그런데 이 역시 조건 (가)의 식에 도함수가 존재하기 때문에 적용할 수 없습니다.

 

 

 

- 이항, 나누기, 곱하기, 양변로그, 극한 등을 이용한 식 변형으로 식을 간단하게 만들거나 값을 구할 수 있는가.

 

이렇게 접근하기에는 현재 문제에서 함수 f에 대한 정보가 너무 부족합니다. 나눠서 도함수끼리 모으고 원함수끼리 모으면

 

예뻐보이기는 하지만.. 그 다음에 뾰족한 수가 없습니다.

 

 

 

- 교과서에서 배웠던 미분법, 적분법의 형태를 찾을 수 있는가.

 

합성함수의 미분법, 몫의 미분법, 치환적분법, 부분적분법과 같은 미분법, 적분법을 적용한 후의 형태이거나

 

적용하기 용이한 형태이지 않는가를 따지는 것입니다.

 

 

조건 (가)의 식에서 좌변과 우변을 따로 놓고 보았을 때, 이 형태는 우리에게 굉장히 친숙한 형태입니다.

 

합성함수의 미분법을 적용한 결과로 볼 수도 있고, 치환적분법을 적용하기 용이한 형태라고도 볼 수 있습니다.

 

사실 둘은 일맥상통하는 개념이기 때문에 어떻게 생각하든 상관 없습니다.

 

이 문제에서는 좌변과 우변의 각각 형태가 간단하기 때문에 전자처럼 생각했을 때 조금 더 빠를 수는 있겠습니다만

(무슨 함수를 미분하면 이런 함수가 나올지만 생각하면 되기 때문)

 

그게 크게 의미있는 시간 차이를 발생시키진 않습니다.

 

전자처럼 생각했을 때,

 

 

임을 알아낼 수 있습니다.

 

 

따라서 조건 (가)의 식은

 

 

와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

"무엇을 미분한 것인지 생각하는 것"은 원시함수를 찾는 것이기 때문에 부정적분을 한 것이고,

 

따라서 적분상수 C가 붙어야 합니다. 그리고 식을 간단하게 하기 위해 양변에 6을 곱하였고, 적분상수는 a로 두었습니다.

 

 

 

그 다음 조건 (나)를 확인합니다.

 

함수 f에 함숫값에 대해 알 수 있는 정보는 조건 (나)에 있는 두 점에 대한 함숫값이 전부입니다. 극히 제한적인 정보입니다.

 

이런 상황에서 제공된 함숫값들이 서로 연관되지 않는 정보들이라면, 문제에서 아무것도 해결할 수 없는 상황이 될 수 있습니다.

 

그래서 -1/8, 6이 무슨 관계를 갖는지 살펴보는 것이 우선입니다.

 

당장은 할 수 있는 것이 없기 때문에 조건 (가)를 정리한 식에 대입부터 해봅니다.

 

 

a라는 미지수가 들어가긴 하지만 f(3/4)에 대한 정보를 f(-1/8)의 정보를 통하여 알아내었습니다.

 

f(3/4)를 이용하여 다른 함숫값에 대한 정보도 알아낼 수 있을까요?

 

 

이제 f(5/2)를 한번 이용해봅시다.

 

 

이렇게 한 번 더 적용했더니 f(6)까지 연결되었습니다.

 

결국 -1/8과 6의 연관성은 x와 2x+1에 대한 연쇄적인 대입에서 찾을 수 있다는 걸 알 수 있습니다.

 

 

이제 문제에서 구하는 값인

 

 

을 구하면 됩니다.

 

f(-1)은 쉽게 발견됩니다. x와 2x+1에 각각 x=-1을 대입하면 둘 다 -1입니다.

 

따라서 (가)의 정리한 식에 x=-1을 대입하여 정리하면 (위에서 구한 a=8/3도 같이 대입),

 

 

 

따라서 정답은 4번입니다.

 

 

 

이 문제는 (가)의 조건식에 대한 분석, 그리고 (나)에 제시된 두 숫자의 연관성이 바로 파악이 되었다면 쉬웠을 것이고,

 

그렇지 않으면 헤맸을 것입니다. 하지만 둘 다 특별히 파악하기 어려운 것은 아니기 때문에

 

평소에 다양한 문제를 접해보았다면 쉽게 풀었을 문제라고 생각합니다.

 

21번 문제라서 어려워야 하는데 왜 이렇게 간단한 것 같지? 하는 의구심이 들 수는 있었을지도 모르겠네요.

 

 

이상으로 2019학년도 수능 수학 가형 21번 문제의 풀이를 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

대학 입시 고민, 모르는 과학 문제, 서울대학교 사범대 출신 선생님의 풍부한 공/사교육 경험으로 해결해드립니다. (현재 무료!)

'포랩(PoLAB)' - 입시 질문, 과학 공부 질문, 여기에 물어보세요!