[4점공략] 2018 3월 고3 교육청 모의고사 수학 가형 21번

 

 

 

2018 고3 모의고사 수학 가형 21번 문제입니다.

 

역시 여느때와 다르지 않게 21번으로 미적분 문제가 나왔고요,

 

아직 3월이기 때문에 꽤 어려운 문제가 배치되는 번호인 21번이라도 극도로 심화된 문제보다는

 

교과서에 나오는 기본개념을 잘 이해하는지 정도를 묻는 문제가 출제된 것 같습니다.

 

그럼 문제 풀이에 들어가보도록 하겠습니다.

 

 

주어진 함수 f를 잘 본 다음 조건 (가)를 읽어보겠습니다.

 

 

 

이 조건을 이용하면 함수 f의 미지수 

를 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

조건 (나)의 경우 현재 상황에서는 얻어낼 것이 없기 때문에, 지금은 구하는 것에 대한 정보를 확인합니다.

 

 

 

함수 h의 도함수에 e를 대입한 것의 값을 묻고 있기 때문에 함수 h의 도함수를 구해야 합니다.

 

도함수를 구하는 과정에서 역함수의 미분법이 사용되기 때문에 이부분을 잠시 짚고 넘어가겠습니다.

 

 

(위 두 줄 에서 사용한 f, g는 원래 문제의 f, g와 관계없습니다)

 

 

원리나 증명은 교과서나 기본서에 충분히 설명되어 있으므로 교과서나 기본서를 참조하시면 됩니다.

 

 

그러면 다시 본 문제로 돌아와서 h의 도함수를 구해보겠습니다.

 

 

 

그리고 구해야 할 값을

 

 

 

와 같이 정리할 수 있습니다.

 

우리가 f라는 함수를 정확하게 알고 있으므로 구해야하는 값 중

 

의 값은 구할 수 있습니다. 

 

 

 

따라서 최종적으로 구할 값은 

가 되는데, 조건 (나)를 통해 이 값들을 알아보도록 합니다.

 

 

 

 

 

일단 여기서 조건 (가)의

 

라는 사실을 이용하면,

 

 

임을 알 수 있습니다.

 

그리고 

의 값을 알아야 하기 때문에, 우리는 조건 (나)의 함수를 미분해 볼 필요가 있습니다.

 

여기서는 합성함수의 미분법이 사용되므로 이것 역시 잠시 짚고 넘어가겠습니다.

 

 

 

 

(위 두 줄 에서 사용한 f, g는 원래 문제의 f, g와 관계없습니다)

 

 

따라서 조건 (나)에서,

 

 

 

이며, 여기서 또 f의 이계도함수가 나타나기 때문에 

를 한 번 더 미분해줍니다.

 

 

 

따라서

 

 

와 같이 나타내어지며, 

을 대입하면,

 

 

임을 알 수 있습니다.

 

따라서 최종적으로 구하는 값은

 

 

가 되어, 정답은 4번입니다

 

 

 

한 문제 안에 곱의 미분법, 합성함수의 미분법, 역함수의 미분법과 같은 다양한 미분법을 모두 물어보고 있습니다.

 

묻는 깊이는 수능에 비해서 깊지 않지만, 갓 배운 기본 개념들을 고루고루 잘 알고 있는지 물어보는

 

좋은 문제가 아니었나 싶습니다.

 

이상으로 2018 고3 모의고사 수학 가형 21번 문제 풀이를 마치도록 하겠습니다.