[4점공략] 2019 수능 수학 가형 30번

 

 

2019 수능 수학 가형 30번 문제입니다.

 

수능 수학에서 가장 어려운 문제가 출제되는 번호이고, 그 명성에 걸맞게 현재 오답률 97%로 추정되고 있습니다.

 

출제영역은 평소 수능 및 모의고사 기출의 흐름대로 미적분 영역입니다.

 

난도는 2017, 2018 30번 문항보다는 낮다고 생각되며, 계산 또한 그리 많지 않은 문제였습니다.

 

 

 

그럼 문제 풀이에 들어가보겠습니다.

 

 

 

문제의 조건을 읽어나갑니다.

 

이런 표현이 나오면 일단 이렇게 써놓고 봅니다. 

 

(위 식에서의 a는 문제의 a와는 별개임)

 

4차 이하의 차수가 낮은 다항함수들은 다루기가 용이해서,

 

나머지 차항의 계수를 모두 구하는 방향으로 풀이가 전개될 가능성이 매우 높기 때문입니다.

 

그 다음 f(x)를 이용하여 작성된 g(x) 및 g(x)에 대한 정보를 확인해주고,

 

조건 박스 안의 조건들을 읽어보겠습니다.

 

 

 

\( \alpha _1 \)은 \( g(x) \)의 극대 또는 극솟점이라고 하였습니다. 이를 이용하여 현재 상황에서 알 수 있는 정보들을 모두 적어봅니다. 

 

 

 

위 수식의 세번째 줄에서  \( \cos (f(0)) = 0 \)  또는  \( f'(0) \)  이 만족되어야 등식이 성립합니다.

 

그런데 문제의 마지막 부분에 단서조항  \( 0 < f(0) < \frac{\pi}{2} \)  로 인하여  \( \cos(f(0)) \ne 0 \)  입니다.

 

따라서  \( f'(0)=0 \)  이 되어야 합니다. 

 

 

함수  \( f \)  를 미분하면

 

인데, 

 

 \( f'(0)=0 \)  이므로  \( b = 0 \)  입니다.

 

 

\( f \) 와  \( f' \) 를 아래와 같이 다시 씁니다.

 

 

\( f'(0)=0 \) 을 이용하여 \( b \) 의 값을 구할 수 있을 뿐만이 아니라, \( x=0 \) 에서 \( f \)가 극값을 갖는다는 것을 알 수 있음에도 주목하세요.

 

그리고 아직 조건 (가)에서 활용하지 않은 것이 있는데,

 

라는 것입니다.

 

 

 

이와 같이 f(0)의 함숫값을 알아낼 수 있습니다.

 

이쯤 되면 조건 (가)를 모두 활용한 것 같으니, 이제 조건 (나)를 살펴봅니다.

 

 

 

\( \alpha_2 , \  \alpha_5  \) 두 수에 대한 관련성을 보여주는 조건인데, 우리는 아직 둘 중 어느 것도 제대로 알지 못하기 때문에 

 

바로 조건 (나)를 활용하기에는 무리가 있습니다.

 

조건 (나)를 진입하기 전에 무언가를 더 생각해보아야 할 것 같습니다.

 

\( \alpha_2 , \  \alpha_5  \) 에 대한 단서를 찾을 수 있을 때까지요.

 

 

그래서 함수 \( f(x) \) 와 \( g(x) \) 에 대해 조금 더 깊게 분석하려고 하는데, 그래프를 그려서 분석을 해보겠습니다.

 

우리가 \( f(x) \) 에 대해 알고 있는 것은 \( x=0 \)에서 극값을 갖는다는 것과(극대인지 극소인지도 모릅니다) 그 극점에서의 함숫값입니다.

 

문제에서 주고 시작한 최고차항의 계수도 있습니다. 

 

\( 6\pi \) 이지만 아직 이 숫자를 그대로 활용할 수 있는 단계는 아니고,

 

단지 이 숫자가 양수라는 것을 활용할 수 있습니다.

 

 

 

위의 정보들을 종합하면 아래와 같은 그래프 개형 후보들을 생각해낼 수 있습니다.

 

<그림 1>

참고로 그림에서 (a)는 \( a<0 \) , (b)는 \( a>0 \) , (c)는 \( a=0 \) 일 때입니다.

(여기서 \( a \) 는 함수 \( f \)에서 우리가 정한 미지수입니다)

 

이 문제를 풀어나갈 때 \( a \) 의 상황이 중요하지는 않지만,

 

모든 그래프 개형 후보를 다 찾았는지 확인하는 차원에서 한번 짚고 넘어갈 만한 가치가 있습니다.

 

 

그 다음 함수 \( g \) 에 대해서 생각해 보는데, \( f \) 의 현재 상황이 좋지 못하고(정보가 너무 부족) 함수의 꼴이 복잡하기 때문에

 

함수 \( g \) 의 그래프를 그리기에는 무리가 있습니다.

 

그래서 함수 \( g \) 에 대해서는 직접 그래프를 그리려고 하기보다는 우회적인 방법을 사용하는 것이 좋을 듯합니다.

 

그것은 바로 언제 극소가 되고, 극대가 되는지에 관한 것입니다. 

 

\( \alpha \)들의 위치에 대한 이야기이죠.

 

 

\( g \) 의 도함수를 다시 한번 봅니다.

 

\( -1 \le \sin ((f(x)) \le 1 \) 이므로 분모가 0이 되는 일은 없습니다. 

 

분자를 보면, 극소, 극대가 되는 \( x \) 의 값은  \( \cos ((f(x)) = 0 \) 이거나  \( f'(x) = 0 \) 이 되도록 하는 \( x \)의 값임을 알 수 있습니다.

 

 

 \( \cos ((f(x)) = 0 \) 이 되려면, 

와 같은 값이 되는 \( x \) 의 값이 필요할 것이고, ......................ㄱ

 

\( f'(x) = 0 \) 이 되려면 \( f \) 가 극대, 극솟값을 갖도록 하는 \( x \) 의 값이 필요할 것입니다. ......................ㄴ

 

 

ㄱ의 경우부터 생각해봅시다.

 

ㄱ에 제시된, \( g(x) \) 가 극값을 갖도록 하는 \( f(x) \) 를 대입해보면,

 

 

와 같은 \( f(x) \) 의 값을 대입했을 경우에는

 

\( \sin (f(x)) = 1 \) 이므로, \( g(x)= \frac{1}{3} \) 이 됩니다. 

 

 

 

그리고

 

와 같은 \( f(x) \)의 값을 대입했을 경우에는

 

\( \sin (f(x)) = 1 \) 이므로, \( g(x)= 1 \) 이 됩니다.

 

 

 

따라서  \( \cos ((f(x)) = 0 \) 를 만족하는 \( x \) 에 대해서는, \( g(x)= \frac{1}{3} \) 또는  \( g(x)= 1 \)  라는 함숫값만 가질 수 있습니다.

 

 

 

여기서 <그림 1>( \( f \) 그래프 개형 사진)의 (b), (c) 그래프를 한번 봅니다.

 

두 그래프는 \( x>0 \)의 범위에서는 극점이 존재하지 않습니다.

 

따라서 ㄱ에서 발생하는 \( g \)의 극값만을 생각할 수 밖에 없는데, 극값은 모두 \( \frac{1}{3} \) 아니면 \( 1 \)입니다.

 

이쯤에서 문제의 조건 (나)를 다시 소환합니다.

 

 

 

\( \alpha_2 , \  \alpha_5  \) 가 모두 극값을 갖는 x값이므로, \( g(\alpha_2) , \  g(\alpha_5)  \) 는 모두 극값들입니다.

 

그런데 (b), (c)와 같은 개형이 나오려면 \( g(\alpha_2) , \  g(\alpha_5)  \) 는 각각  \( \frac{1}{3} \) 아니면  \( 1 \) 이라는 값을 가져야 합니다.

 

이런 상황에서 조건 (나)가 과연 만족될 수 있을까요?

 

 

\( g(\alpha_5) = \frac{1}{3}  \) 이면,

이므로  

 

\( g(\alpha_2)  \)는 \( \frac{1}{3} \) 도  \( 1 \)도 아닌 것이 확인되고,

 

 

\( g(\alpha_5) = 1  \) 이면

이므로 이 역시 \( \frac{1}{3} \) 도  \( 1 \) 도 아닙니다. 

 

 

\( f \) 가 (b)와 (c) 같은 그래프 개형이라고 가정하게 되면 모순이 발생한다는 걸 알았습니다. 따라서 (b), (c)는 그래프 후보에서 탈락됩니다.

 

가능한 그래프 개형은 자연스럽게 (a)만 남습니다.

 

 

이제 

 

 \( g(\alpha_2) , \  g(\alpha_5)  \)  둘 다 \( \frac{1}{3} \)  또는  \( 1 \) 이 되게 해서는 안된다는 걸 알기 때문에,

 

\( \alpha_2 , \  \alpha_5  \)  둘 중 하나는 함수 \( f \)  에서 극값이 위치하는 \( x \)  좌표값을 취해야한다는 것을 알 수 있습니다.

( \( 0 \) 이 아닌  \( x \) 좌표값을 말하며, 위쪽의 ..........ㄴ 조건을 참고하세요)

 

즉, 둘 중 하나는

이어야 한다는 것입니다.

 

 

이제 

 

\( \alpha_2 , \  \alpha_5  \) 둘 중 누가 \(- \frac{a}{9 \pi} \)  이어야하는가 하는 의문이 남습니다.

 

 

먼저,  \( {\alpha}_{2} = - \frac {a}{9 \pi }  \) 라고 해봅시다.

 

그러면 <그림 2>와 같이 f의 그래프가 나타납니다.

 

 

<그림 2>

 

(Q. 왜 \( f(\alpha_{3}) , \ f(\alpha_{4}) , \ f(\alpha_{5}) \) 가 <그림 2>에 표시한 값을 가질 수밖에 없을까요? 생각해보세요)

 

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Q. 에 대한 Hint

(Hint 1)

 

일단 

이 되는 f(x) 값을 잡아주는 것은 맞아보입니다.

 

그런데 왜 하필 

 일까요? 

 

 

 

 

 

(Hint 2)

 

 

 

<그림 2> 처럼 표시되지 않을 수도 있는 경우를 두 가지 생각해볼 수 있습니다.

 

하나는 \( f(\alpha_{3}) \) 이  \( - \frac{\pi}{2} \) 이하가 되는 경우이고,

 

또 다른 하나는  \( f(\alpha_{3}) \) 이  \(  \frac{3}{2} \pi \) 이상이 되는 경우입니다.

 

이렇게 되면 무슨 일이 생길까요?

---------------------------------------------------------

 

 

 

으로 하고,  

는 (.....ㄱ) 조건에 맞게 선택되었습니다.

 

따라서 

가 되어, 

입니다.

 

여기서 조건 (나)를 적용하면 

이며,

 

 

와 같은 값들이 될 수 있습니다. 그런데 그래프의 개형으로 보았을 때

 

 

가 

 이상이 되는 것은 불가능합니다.

 

  미만의 값은 어떨까요? 

 라고 해보겠습니다.

 

그러면 그래프는 <그림 3>과 같이 그려집니다.

 

<그림 3>

 

그림에서 보다시피, x 값이 

에서 

로 가는 중에

 

라는 함숫값을 거치게 됩니다. 그런데 이때의 x값은 함수 g의 극점이 생기도록 하는 값이기 때문에 

 

는 사실 저 x값이 되었어야 합니다. 현재의 

가 

가 아니게 되는 것입니다.

 

(참고로 위에서 던졌던 질문(Q.)에 대한 답은 이런 현상과 관련이 있습니다)

 

 

따라서 

로 가능한 값이 존재하지 않으므로,

 

여서는 안 되며, 

여야 합니다.

 

이 경우, f의 그래프는 <그림 4>와 같이 그려집니다.

 

<그림 4>

 

 

 

 

(나)의 관계식에 의해, 

 

g의 함수식에 의해 

인데,

 

음의 방향으로 진행할 때 

 다음으로 사인 값이 -1/2가 되도록 하는 값은

 

 입니다. 따라서 

 가 됩니다.

 

 

 

이므로,

 

 

 

 

이제 문제에서 묻는 값을 계산할 준비가 완료되었습니다.

 

따라서 

이상으로 2019학년도 수능 수학 가형 30번 문제 풀이를 마치겠습니다.

 

 

 

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