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[4점공략] 2020 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 29번 본문

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[4점공략] 2020 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 29번

평등수렴 2019. 6. 19. 14:20
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2020학년도 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 30번 문제입니다.

출제 영역은 기하와 벡터입니다.

29번 문제의 오답률은 92.4% (EBSi 기준) 정도로 30번 문제(92.9%) 와

오답률의 차이가 거의 없었습니다.

이번 29번 문제가 여태껏 출제되었던 다른 시험의 29번 벡터 문항들과 비교해서

크게 어려운 문제는 아니었는데, 6월 모평에서는 아직 기하와 벡터 과목의

전 영역이 출제되지 않기 때문에, 수험생들이 벡터에 익숙하지 않아서 그런 것으로 생각됩니다.

또한 문제가 길어서 문제를 분석하는 데 충분한 시간을 갖지 못했을 수도 있었을 듯합니다.

그럼 문제를 차근차근 읽어보면서 풀어가보겠습니다.

 

좌표평면에서 C:y=8x2(2x22) 위의 점 P에 대하여

¯OQ=2, POQ=π4 이면서 직선 OP의 아랫부분에 있는 점을 Q.

 

일단 C처럼 정의된 수식을 보면 저것은 반원 모양의 그래프라는 것을 바로 떠올릴 수 있어야 합니다.

그리고 점 P, Q에 대한 설명이 나오는데, 이 상황을 그대로 그림으로 나타내어보면 <그림 1>과 같습니다.

<그림 1>

문제의 그 다음 부분을 읽어보겠습니다.

 

P가 곡선 C를 움직이고,

X는 선분 OP 위를 움직이고,

Y는 선분 OQ 위를 움직인다.

 

X, Y에 대한 정의가 새로 나옵니다.

선분 OP, 선분 OQ는 이미 그림상에 표현해두었으므로,

X, Y의 위치를 그림상에 표현하는 건 쉽습니다(<그림 2>와 같이).

그리고 벡터 OZ에 대한 정의가 나옵니다.

 

OZ=OP+OX+OY

 

벡터 OZ가 세 벡터의 합으로 정의되어 있습니다.

그런데 여기서 점 P, X, Y는 모두 어떤 곡선 위를 움직이는 점들이기 때문에

이들을 동시에 생각해서 점 Z가 나타나는 영역을 찾아주는 것은 생각하기에 무리가 있습니다.

이럴 때는 세 점 중 한 점만을 우선 생각하여 그 한 점이 움직이는 영역을 찾아주고,

그 영역에서 다른 점이 움직이는 것을 고려한 영역을 다시 찾아주는 방식으로

진행해 나가는 것이 생각하기 간편합니다.

이 방식을 이 문제에서는 어떻게 적용할지 구체적으로 살펴보겠습니다.

먼저 점 P가 움직이는 영역부터 보겠습니다.

P가 움직이는 영역은 이미 나타낸 바가 있습니다(<그림 3>).

<그림 3>

여기에 점 X가 움직이는 것을 고려하여,

 

OP+OX

 

가 그리는 영역을 살펴보겠습니다.

벡터 OX는 벡터 OP와 같은 방향으로 평행한 벡터이기 때문에,

둘을 더하게 되면 벡터 OP에 벡터 OX의 길이만큼이 그대로 연장되는 형태가 됩니다.

이때, 벡터 OX는 길이를 0부터 22까지 가질 수 있습니다.

예를 들어, 점 Px좌표를 2로 고정시킬 때,

두 벡터의 합은 다음과 <그림 4>와 같은 영역(직선 모양)을 갖게 됩니다.

<그림 4>

이제 점 Y의 움직임을 고려해보겠습니다.

벡터 OY는 벡터 OP로부터 45 음의 방향으로 회전된,

길이가 0에서 2까지 변하는 벡터입니다.

Px좌표를 2로 고정시킬 때, 벡터 OY<그림 5>와 같이 x축과 평행하게 나타납니다.

<그림 5>

벡터 OY<그림 5>에 표시된 벡터 OP와 벡터 OX의 합이 나타내는 영역의 각 점들에 대해

더해주면 <그림 6> 같은 평행사변형 모양의 영역이 나옵니다.

<그림 6>

이제 점 P의 고정을 풀어서 저 평행사변형이 어떤 새로운 영역을 그리게 되는지

알아보면 되는데, 이것을 바로 생각해내기 조금 어려울 수 있으므로,

Px좌표를 22로 고정시킨 상태에서 세 벡터 합의 영역을 우선 그려보겠습니다(<그림 7>).

<그림 7>

이렇게 한 다음, 점 Px좌표가 2에서 22로 움직일 때, 평행사변형의 각 부분들이

어떻게 움직이고 있는지 확인해봅니다 (<그림 8>).

<그림 8>

평행사변형을 도끼의 날이라고 하고, 선분 OP를 도끼의 손잡이라고 한다면,

우리가 구하는 영역은 마치 이 도끼를 점 O를 축으로 45 내려찍을 때

도끼의 날이 쓸고 지나가는 영역과 같다고 이해할 수 있습니다.

결국 우리가 구하는 영역은 <그림 9>와 같으며, 이것이 점 Z가 존재할 수 있는 영역입니다.

문제에서는 이 영역을 D라고 하였습니다.

또한 영역 D에 속하는 점 중 y축과 거리가 최소인 점을 R이라고 하였으므로,

R까지 그림에 표시하겠습니다.

<그림 9>

이제 남은 건 점 R과, 영역 D 안의 점 Z에 대해서

 

OR  OZ

 

 

의 최댓값과 최솟값을 구하는 것입니다.

이것을 하기 전에 내적 자체에 대해 생각해봅시다.

두 벡터의 내적이란, 두 벡터의 크기를 곱하고, 두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값을 곱한 값입니다.

그렇다면 내적이 최대가 되기 위해서는

두 벡터의 크기가 최대한 커야하고, 두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값도 최대한 커야합니다.

각도가 0 ~ 180일 때에는 각도가 커질 수록 코사인 값이 작아지기 때문에,

각도의 코사인 값이 최대한 커야 한다는 것의 의미는

두 벡터가 이루는 각도는 최대한 작아야한다는 것이 됩니다.

반대로, 내적이 최소가 되기 위해서는

두 벡터의 크기가 최대한 작아야 하고, 두 벡터가 이루는 각도는 최대한 커야 한다는 것이 됩니다.

이를 염두에 두고 최댓값과 최솟값을 찾아보겠습니다.

먼저 최댓값을 생각해보겠습니다(<그림 10>)

<그림 10>

내적이 최댓값이 되도록 하는 벡터 OZ의 후보는

빨간색, 파란색 벡터와 같은 것으로 생각할 수 있습니다.

그런데 파란색 벡터같은 경우, 빨간색으로 표시한 벡터들 중 가장 오른쪽에 있는 것과 크기는 같으면서

벡터 OR과 이루는 각도는 더 크므로 고려할 필요가 없습니다.

다만, 빨간 벡터 중에서는, 오른쪽으로 갈 수록 크기는 커지지만

벡터 OR과의 각도도 같이 커지기 때문에

직관만으로 특정한 어떤 것일 때 내적이 최대다! 라고 단정지으면 조금 위험합니다.

그래서 수식으로 짚고 넘어가는 것이 안전합니다.

내적을 구하는 방법에는 앞에서 설명한

(두 벡터의 크기의 곱) * (두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값)

도 있지만,

각 성분의 곱의 합

으로도 계산 가능합니다.

어떤 것이 편한지는 문제마다 달라집니다. 여기서는 각 성분의 곱의 합으로 내적을 계산하겠습니다.

RZ의 좌표를 <그림 11>과 같이 표시합니다.

<그림 11>

(Z의 좌표 및 x의 범위가 왜 그런지는 한번 생각해보시기 바랍니다. 어려운 것은 아닙니다.)

이제 내적을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

OR  OZ=(2, 2)  (4+x, 4)

=(8+2x)+24

=16+2x.

 

x의 범위는 0 이상 2 이하이므로, 내적의 최댓값은 20이 됩니다.

그리고 최솟값에 대해서도 생각해봅시다(<그림 12>).

<그림 12>

그림에 표시된 빨간색 벡터와 파란색 벡터 각각의 역할은

최댓값을 생각할 때와 비슷하게 생각하면 됩니다.

이 경우에서도 역시 Z의 좌표 및 x의 범위가 왜 이렇게 되는지 생각해보세요.

내적을 구하면,

 

OR  OZ=(2, 2)  (22+x, x)

=42.

계산 과정에서 x가 소거되어버리므로, x의 범위에 관계없이 값은 42이며, 이것이 최솟값입니다.

결국 벡터 OR과 벡터 OZ의 내적의 최댓값과 최솟값의 합은

 

20+42

 

이므로, 최종적으로 구하는 값

 

a+b=24

 

가 되어, 정답은 24입니다.

벡터와 관련된 고난도 문제는 이 문제의 P, X, Y와 같이 여러 점이 변수가 되어

다변수함수적인 해석, 즉 고등학교 과정을 벗어나는 내용을 필요로 하는 것이 아닌가 하는

당황스러움을 줄 수도 있습니다.

하지만 하나씩 풀어서 생각해보면 그런 게 필요없다는 것을 곧 알아차릴 수 있으며,

우리가 생각 가능한 범위 내로 문제를 끌어와서 해결할 수 있습니다.

이상으로 2020학년도 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 30번 문제의 풀이를 모두 마치겠습니다.

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