[4점공략] 2020 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 21번

2020학년도 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 21번 문제입니다.

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출제영역은 평소와 같이 미적분 영역입니다.

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함수 f가 있고, 이 f를 바탕으로 새로운 함수 g를 생각하는 형태로,

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고난도 문항에서 자주 보이는 유형입니다.

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어렵게 느껴질 수 있으나 차근차근 뜯어보면 크게 어려울 것이 없으니

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겁먹지 말고 하나하나 살펴보는 것이 좋겠습니다.

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그럼 문제 풀이에 들어가보겠습니다.

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우선 문제를 읽어봅니다.

 

함수 \( f(x)= \frac {\ln x} {x} \)와 양의 실수 \( t \)에 대하여, 기울기가 \( t \)인 직선이 곡선 \( y=f(x) \)에 접할 때, 접점의 좌표를 \( g(t) \)

 

함수\( f(x) \)의 식이 주어져 있고, 기울기, 직선, 곡선, 접점 등 함수를 그래프적으로 해석할 때 나타나는 표현이 있습니다.

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이런 표현이 문제에 나오면 이 함수의 그래프가 어떤 모양인지 대략 알아볼 필요가 있습니다.

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사실 문제 풀이 과정에서 그래프가 그리 필요하지 않을 수도 있습니다.

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하지만 그건 문제를 다 풀어서 답을 내어보기 전에는 알 수 없는 것이고,

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어느 경우가 됐든 문제 풀이 방향에서 직관적인 도움을 주기 때문에 실전에서는 그려보는 것이 좋습니다.

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함수의 개형을 알아보기 위해 f(x)를 미분해줍니다. 몫의 미분법을 사용하면 됩니다.

 

$$ f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{{x}^2} $$

 

여기서

\( x=e \) 일 때 \( f'(x)=0 \)​ 이고,

 

\( 0<x<e \) 일 때는 \( f'(x) \) 가 음수,

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\( x>e \) 일 때는 \( f'(x) \) 가 양수이므로,

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\( x=e \)에서 극댓값을 가지는 그래프가 됩니다.

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또한,

 

$$ \lim_{x \to 0+}f(x)=\infty, \ \lim_{x \to \infty}f(x)=0 $$

 

이라는 점을 이용하여 \( f(x) \)의 그래프의 개형을 <그림 1>과 같이 완성시킬 수 있습니다.

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<그림 1>

\( x>e \) 범위에서 나타나는 변곡점은 \(0 \)으로 수렴하는 \( f(x) \)의 특성상 나타나게 되는 것으로,

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굳이 이계도함수를 구하지 않아도 \( x>e \)에서 변곡점이 생긴다는 것은 알 수 있습니다.

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그리고 함수 \( g \)가 어떤 식으로 정의되어 있는지 살펴보겠습니다.

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함수 \( g \)는 함수 \( f \)의 곡선 위의 한 점에서 긋는 접선과 관련이 있는 함수입니다.

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그 접선의 기울기가 \( t \)이며, 접점(곡선 \( f \)와 접선의 교점) 의 \( x \)좌표를 \( g(t) \) 라고 하였습니다.

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이를 그래프상에 표현하면 <그림 2>와 같습니다.

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<그림 2>

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문제에서 \( t \)는 양수라고 하였는데, \( x=e \)에서 \( f \)에서 접선을 그으면 기울기가 \( 0 \)이 되며,

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\( x>e \)에서 \( f \)에서 접선을 그으면 기울기가 음수가 됩니다.

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따라서 \( x \ge e \)의 범위에서의 접선은 생각하지 않아도 되며,

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\( g(t) \) 의 값은 \( 0<g(t)<e \) 로 제한됨을 알 수 있습니다.

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이런 것 역시 모범답안을 낼 때는 필요하지 않은 정보일 수 있으나,

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문제를 풀어나가다가 어떤 값을 도출하였을 때 그 범위에 있는 것인지 확인함으로써

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실수를 줄여주는 역할을 할 수 있습니다.

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또한, 접선의 기울기가 주어져 있고, 접선이 지나는 점 중 하나인 접점을 알고 있으므로,

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우리는 이 접선의 방정식을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

 

점 \( (g(t), \ f(g(t))) \)를 지나고, 기울기가 \( t \)인 직선의 방정식은

\( y=t(x-g(t))+f(g(t)). \)

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그리고 문제의 뒤를 마저 읽어 문제에서 제공하는 정보를 마저 가져옵니다.

 

원점에서 곡선 \( y=f(x) \)에 그은 접선의 기울기가 \( a \)

 

\( a \)에 대한 정보가 나옵니다.

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\( f \)에서 그을 수 있는 접선 중 원점을 지나는 접선 하나를 특정하고 있으므로,

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\( a \)는 단 하나로 값이 정해지는 상수입니다.

(원점에서 f에 접하도록 그을 수 있는 접선의 수는 1개)

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이를 그래프상에 표현하면 <그림 3>과 같습니다.

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<그림 3>

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이 상황을 이전에 구한 접선의 방정식에 적용해보겠습니다.

 

$$ y=a(x-g(a))+f(g(a)) $$

$$ = a(x-g(a)) + \frac { \ln g(a) } { g(a) } $$.

 

그리고 이 직선은 원점을 지나므로 \( x=0 \), \( y=0 \)을 대입하면,

 

$$ 0=-ag(a)+ \frac {\ln g(a)} {g(a)}, $$

$$ ag(a)= \frac {\ln g(a)} {g(a)} \qquad . \  . \  . \  ① $$ 

 

\( a \), \( g(a) \) 두 수는 관련있는 수처럼 보여서 미지수가 하나인 것과 다름없다고 생각할 수도 있지만

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현재 함수 \( g \)의 식을 모르기 때문에 미지수가 두 개인 것으로 보는 게 맞습니다.

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그래서 값을 알아내기 위해서는 \( a \), \( g(a) \)에 관한 식을 하나 더 찾아주어야 합니다.

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사실 \( a \)에 대한 정보를 분석하기 전에 우리는 접선의 방정식만 구했지,

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'접선'이라는 것의 의미를 제대로 분석하지 않았습니다.

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수식으로 풀어나가는 것에 집중하다 보면 놓칠 수 있는 부분인데,

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고난도 문제들에서는 수식으로만 풀어내는 것이 아닌, 의미적으로도 접근할 수 있는지를 묻는 경우가

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종종 있기 때문에 이 점을 유념해주셔야 합니다.

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어떤 그래프에서 접선이란, 해당 접점을 지나면서 그 접점에서의 미분계수를 기울기로 갖는 직선을 말합니다.

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다시 정리해서 말하면, 접선의 기울기는 접점의 \( x \)좌표에서의 미분계수입니다.

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따라서 기울기가 \( t \)인 \( f \)에서의 접선이 있을 때, \( t \)라는 값은, 접점의 \( x \)좌표에서의 미분계수입니다.

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기울기가 \( t \)일 때 접점의 \( x \)좌표는 \( g(t) \)이므로,

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이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

$$ f'(g(t))=t $$

 

이를 \( f'(x) \) 의 수식을 적용하여 다시 나타내면,

 

$$ \frac {1- \ln g(t)} { \{ g(t) \} ^2} = t \qquad . \  . \  . \  ② $$

 

가 됩니다.

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여기서 \( t=a \)를 대입하면, (\( a \)도 기울기의 일종이므로 대입하여도 문제 없습니다)

 

$$ \frac {1 - \ln g(a)} {\{ g(a) \} ^2 } = a \qquad . \  . \  . \  ③ $$

 

가 됩니다.

이로써 \( a \), \( g(a) \)에 관한 식 하나를 더 얻었습니다.

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③번 식이 \( a \) 에 대해 정리가 되어 있으므로,

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③을 ①에 대입하는 것이 간편합니다.

 

$$ \frac {1- \ln g(a) } {\{ g(a) \} ^ 2} \cdot g(a) = \frac {\ln g(a)}{g(a)}, $$

$$ 1- \ln g(a) = \ln g(a), $$

$$ \ln g(a) = \frac {1} {2}. $$

$$ \therefore g(a) = e^{\frac {1}{2}} = \sqrt{ e }. $$

 

또 이를 이용해서 \( a \)를 구하면,

 

$$ a = \frac {1} {2e} $$

 

임을 알 수 있습니다.

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문제에서 구하는 값은

 

$$ a \times g'(a) $$

 

이므로, \( g \) 의 도함수에 대해 알아볼 필요가 있습니다.

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위의 ②번 식

 

$$ \frac {1- \ln g(t) } { \{ g(t) \} ^{2} } = t $$ 

 

을 이용하면 도함수에 대한 정보를 알 수 있습니다.

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우선 양변 미분하기 간편하도록 다음과 같이 변형합니다.

 

$$ 1- \ln g(t) = t\{g(t)\} ^ 2 $$

 

\( 0<g(t)<e \)여서 \( g(t) \)가 \( 0 \)이 되는 일이 없기 때문에 이와 같은 변형은 \( t \)의 값에 관계 없이 가능합니다.

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이를 양변 미분하면,

 

$$ - \frac {g'(t)}{g(t)} = \{ g(t) \} ^2 + 2tg(t)g'(t) $$

 

여기에 \( a \)를 대입한다면, \( a \)와 \( g(a) \)의 값으로 \( g'(a) \)를 구해낼 수 있습니다.

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\( g'(a) \)를 구해내고, 문제에서 최종적으로 구하는 답을 계산하여 마무리합니다.

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$$ - \frac {g'(a)} {g(a)} = \{ g(a) \} ^ 2 +2ag(a)g'(a), $$

$$ -g(a) = { \{ g(a) \} } ^{3} + 2a { \{ g(a) \} }^{2} g'(a), $$

$$ - \left(2a \{ g(a) \}^2 + 1 \right) g'(a) = \{ g(a) \} ^ 3, $$

$$ g'(a)= - \frac {\{ g(a) \} ^ 3} {2a \{g(a)\} ^ 2 + 1} \\ \ \ \ = - \frac { e \sqrt{e} } { 2 \cdot \frac {1} {2e} \cdot e + 1 } = - \frac {e \sqrt {e}}{2}. $$

$$ \therefore a \times g'(a) = - \frac {\sqrt{e}} {4}. $$

 

 

따라서 정답은 2번입니다.

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이 문제는 함수식을 수식으로 해석하는 것 이외에,

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문제 상황 자체를 의미적으로 해석하지 않으면 해결이 어려웠을 것입니다.

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고난도 문항에서는 문제를 다양한 관점에서 바라보는 능력이 요구되는 경우가 있으니

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평소에 문제를 풀 때 다각도로 생각해보는 연습을 해보면 좋겠습니다.

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이상으로 2020학년도 6월 고3 평가원 모의고사 수학 가형 21번 문제 풀이를 마치겠습니다.