[4점공략] 2017 수능 수학 가형 30번

 

수능 수학에서 가장 어려운 문제가 등장하는 번호인 30번의 문제입니다.

 

이번에도 다른 때와 다르지 않게 30번 문제는 미적분 부분을 범위로 하고 있고, 더 정확한 범주는 '미분'입니다.

 

평을 하자면, 이 문제는 꽤 어려운 문제입니다.

 

아이디어의 난이도, 계산 과정의 복잡, 그리고 함정 등 어느 하나 빠짐 없이 높은 수준에 있습니다.

 

평가원이 쉬운 수능 기조에서 탈피하고자 하는 의지를 강력하게 보여주는 문제가 아닌가 싶습니다.

 

 

풀이를 한번 들어가보도록 하겠습니다.

 

 

박스 위의 내용을 숙지하고, 박스 안의 주어진 조건을 읽어나가기 시작합니다.

 

 

문제의 시작부터 함정이 도사리고 있습니다.

 

\( g(x) \)는 사차함수이고, \( f(x) \)에 일차함수가 곱해진 것이 \( g(x) \)라고 했으니,

 

\( f(x) \)는 삼차함수라고 생각하기 굉장히 쉽습니다.

 

실제로 많은 수험생이 이 문제를 맞닥뜨렸을 때 그렇게 생각했을 듯합니다.

 

하지만, 문제에서 \( f(x) \)는 삼차함수라는 조건이 없으며, (가)의 성질이 만족한다고 하여

 

꼭 \( f(x) \)가 삼차함수가 되지는 않습니다.

 

예를 들어보겠습니다.

(아래의 \( f(x) \)는 원래 문항의 \( f(x) \)와 관련없습니다)

\( f(x) \)와 일차식의 곱이 삼차함수이지만, \( f(x) \)가 이차함수가 되지 않는 것을 보여주고 있습니다.

 

윗줄의 우변이 \( (x-1) \)을 인수로 가지고 있어야만 \( f(x) \)는 이차함수가 될 수 있습니다. (\( x>1 \) 조건 하)

 

 

원래문제로 돌아와서 앞의 예시와 맞추어 보았을 때,

 

\( g(x) \)는 \( (x-a) \)를 인수로 가지고 있을 때만 \( f(x) \)를 삼차함수로 만들 수 있습니다. (\( x>a \) 조건 하)

 

그런데 \( g(x) \)가 \( (x-a) \)를 인수로 가지고 있다는 보장이 없으므로, \( f(x) \)를 삼차함수로 생각하면 상당히 곤란해집니다.

 

 

지금까지는 이 정도로 생각하고, 조건 (나)를 확인합니다.

 

* (가)의 조건 \( x>a \)에 의해, 앞으로 풀이에서의 \( x \)의 범위는 \( x>a \)에서만 논의되는 것으로 합니다.

 

 

조건 (나)에서 \( f(x) \)의 극댓값을 언급하고 있습니다.

 

이 조건에 의해 \( f(x) \)는 극대점을 적어도 두 개는 가지게 되는데, 삼차함수가 극대점을 두 개 이상 가지는 경우는 존재하지 않으므로

 

\( f(x) \)는 절대 삼차함수가 아니라는 것을 알 수 있습니다.

 

처음에 그렇게 생각했더라도, 이 조건을 보고 삼차함수란 생각에서 빠져나와야 합니다.

 

 

또한, 극댓값에 대한 언급을 보아하니, \( f(x) \)에 대한 미분이 필요해보입니다.

 

\( f(x) \)를 미분하기 위해, (가)의 조건을 이용합니다.

 

 

 

\( x= \alpha, \ \beta \)에서의 극댓값을 묻고 있으므로, 이들을 \( f'(x) \) 및 \( f(x) \)에 대입해보는 것이 자연스러운 생각입니다.

 

 

\( f(x) \)는 \( x>a \)에서 정의되어 있고, \( \alpha \)는 \( f \)가 극댓값을 갖는 위치이므로, \( \alpha \)와 \( a \)는 같을 수 없습니다.

 

나아가, \( \alpha > a \)라는 점도 알 수 있습니다.

 

같은 방식으로 \( \beta \)에 대해서도 풀어준다면 아래와 같은 결과가 나옵니다.

 

 

그런데, 이러한 \( g(x) \)를 계속 가지고 간다면 생각하기가 복잡할 수 있습니다.

 

앞으로의 전개를 간단하게 만들어 줄 아이디어가 있다면 좋을 듯합니다.

 

만약

와 같은 함수를 생각한다면,

 

이므로, 이러한 함수 \( h \)에 대한 식을 생각해내기는 쉽습니다. 이 함수를 이용하여 \( g(x) \)를 보조할 수 있습니다.

 

 

우선,

라는 조건은 \( h \)의 수식을 매우 생각하기 편리하게 만듭니다.

 

함숫값과 그 미분계수가 모두 \( 0 \)이므로,

을 인수로 갖게 됩니다. 이때, \( g(x) \)가 사차함수이므로, \( h(x) \)는 더 이상의 인수를 가지지는 않습니다.

 

따라서

 

인데, \( g(x) \)의 최고차항의 계수가 \( -1 \)이므로, \( h(x) \)와 \( g(x) \)와의 관계를 고려했을 때, \( k=-1 \)입니다.

 

최종적으로.

입니다.

 

함수 \( h(x) \)의 그래프의 개형은 다음과 같이 나타납니다.

 

 

 

주어진 사차함수의 대칭성에 의해, \( h(x) \)의 극솟값은 

인 지점에서

 

생기는 것을 알 수 있습니다.

 

이를 알면, 굳이 \( h(x) \)의 식을 미분하지 않고도 \( h(x) \)의 도함수의 그래프의 개형을 알 수 있습니다.

 

 

 

이렇게 \( f \)의 극댓값 조건에 대한 분석이 완료되었습니다.

 

이제 조건 (다)를 이용하여 나머지부분을 완성해나가도록 합니다.

 

 

\( f(x), \  g(x) \)의 극대, 극소의 개수에 대한 이야기가 나옵니다.

 

따라서, \( f(x), \ g(x) \)의 극대, 극소의 개수를 파악하는 것이 필요합니다.

 

\( f(x) \)부터 파악해보도록 하겠습니다.

 

 

앞에서 \( g(x) \)를 \( h(x) \)를 이용하여 표현하였으므로, \( f(x) \)도 \( h(x) \)를 이용하여 표현할 수 있습니다.

 

 

위 식을 미분하여 \( f \)의 개형을 확인해봅니다.

 

분모는 항상 양이므로, 분자가 \( 0 \)이 되도록 하는 \( x \)의 값을 찾아냅니다.

 

이를 위해서는 \( h(x) \)의 그래프와 \( h'(x)(x-a) \)의 그래프의 비교가 필요합니다.

 

 

이므로(인수는 \( h'(x) \)의 그래프를 통해, 최고차항의 계수는 \( h(x) \)의 식을 통해 이끌어낼 수 있습니다),

 

입니다.

 

따라서 두 그래프를 같은 좌표평면 상에서 비교해주면,

​

와 같이 나타납니다.

 

따라서, \( f \)의 극값은 3개임을 알 수 있습니다.

 

 

여기서, \( g(x) \)는 극대, 극소가 되는 \( x \)의 개수를 2개 이하로 가지는 것까지 알 수 있습니다.

 

 

\( g(x) \)의 극대, 극소를 파악하기 위해 \( g(x) \)의 도함수를 생각해봅니다.

 

이때, \( h(x) \)를 이용하여 표현된 \( g(x) \)의 도함수 식을 이용합니다.

 

 

\( g'(x) \)와 \( h'(x) \)의 차이는 M이라는 상수 차이임을 알 수 있습니다.

 

\( h'(x) \)의 그래프를 다시 가지고 와보면,

 

 

 

 

와 같은데, \( g(x) \)는 극대, 극소가 되는 점을 2개 이하로 가져야하므로((다)의 조건에 의해),

 

\( g'(x) \)의 그래프는 \( h'(x) \)의 그래프처럼 3개의 해를 가져서는 안 됩니다.

 

\( g'(x) \)와 \( h'(x) \)는 \( M \)이라는 상수차이이므로, \( g'(x) \)가 2개 이하의 해를 가지도록 하기 위하여

 

\( g'(x) \)를 \( y \)축 방향으로 평행이동하는 방법을 사용할 수 있습니다(\( M \) 만큼).

 

 

 

조건 (나)에서 \( M>0 \)이므로, \( g'(x) \)의 그래프는 \( y \)축의 양의 방향으로 평행이동할 수밖에 없으며,

 

이는, \( g'(x) \)의 그래프와, \( x \)축의 위치를 비교했을 때, \( x \)축의 위치가 상대적으로 내려감을 의미합니다.

 

따라서, \( h'(x) \)의 그래프에서, \( x \)축이 내려온 형태로 \( g'(x) \)의 그래프를 이해할 수 있습니다.

 

(사실 굳이 \( x \)축이 내려오는 것이 아닌, 그래프 자체가 올라가는 것으로 생각하는 것이 맞습니다)

 

 

위의 그림과 같이, \( x \)축과 \( g'(x) \)의 그래프의 극솟점에서 접하게 되면

 

\( g(x) \)의 극대, 극소를 갖는 점이 2개 이하가 되며, \( M \)도 최소가 되므로, 이 때의 \( M \)이 우리가 구하는 값임을 알 수 있습니다.

 

편의상 \( M \)의 최솟값이라는 표현 대신, 이때의 \( M \)의 값을 \( M \)이라 하도록 하겠습니다.

 

 

마지막으로, 주어진 조건인 

을 이용하여, \( M \)의 값을 구하면 됩니다.

 

\( M \)의 값을 구하기 위해서는, 극소를 갖는 \( x \)의 값을 알아내는 것이 우선입니다.

 

이를 위해, 다시, 분석하기 쉬운 \( h'(x) \)의 그래프로 돌아갑니다.

(\( g'(x) \)와 \( h'(x) \)는 \( y \)축 방향 평행이동의 관계에 있으므로, 극대, 극소를 갖는 \( x \)의 값들은 똑같이 가집니다)

 

 

마지막 조건을 이용하여 \( h'(x)=0 \)의 각 해를 \( \alpha \)를 이용하여 나타낼 수 있습니다.

 

따라서,

와 같이 쓸 수 있습니다.

(\( h(x) \)의 최고차항의 개수가 \( -1 \)이었으므로, 이를 미분하여 나온 삼차함수의 최고차항의 개수는 \( -4 \)가 됩니다)

 

\( h'(x) \)의 극값을 이용하기 위해서는 \( h'(x) \)의 도함수, 즉 \( h''(x) \)가 필요하므로,

 

\( h'(x) \)를 한 번 더 미분해주어야 합니다.

 

그런데, 위와 같이 나타내어진 \( h'(x) \)를 바로 미분하기에는 식이 복잡하므로, 다음과 같은 스킬을 사용할 수 있습니다.

 

이를 양변 미분하면,

 

 

따라서,

 

제 생일이 12월 18일이어서 최종 답을 구하는 과정을 보고 기분좋아진 문제였습니다

 

따라서, \( M=216 \)이 됩니다.

 

 

이상으로 2017학년도 수능 수학 가형 30번의 풀이를 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

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