[4점공략] 2018 수능 수학 가형 30번

 

 

2018 수능 수학 가형 30번 문제입니다.

 

가장 어려운 문제가 나올 것으로 예상되는 번호인만큼 이 문제 역시 만만찮은 포스를 풍기고 있습니다.

 

그런데 2017 수능에서 극악의 난이도로 출제되었던 30번 문제를 생각해 본다면, 생각보다는 어렵지 않았다는 것이 제 생각입니다.

 

시험장에서는, 함수와 적분에 대한 감각이 어느 정도 있는 분들은 코사인 그래프와 $f$의 그래프를 보았을 때

 

$g$의 극솟값이 나타날 것으로 생각되는 부분을 직관적으로 확인해서 푸는 방법을 많이 사용하였을 것 같습니다.

 

그리고 직관으로 해결하지 않는다 하더라도, 기본 개념이 잡혀 있고 계산 속도가 빠르다면

 

큰 문제없이 풀어낼 수 있었던 문제라고 생각됩니다. 30번이기 때문에 남은 시간의 압박이 있었겠지만요.

 

 

그럼 문제 풀이에 들어가보겠습니다.

 

*여기서는 직관에 의한 풀이는 하지 않고 정확한 식에 의해 푸는 방법을 소개하겠습니다.

 

 

 

$f$가 어떻게 정의되어 있는지 확인합니다.

 

 

조금 복잡해 보이지만, 

 의 그래프와 그래프의 평행, 대칭이동에 대한 개념이 잡혀있다면 f의 그래프가

 

어떻게 생겼는지 파악할 수 있습니다.

 

$f$의 첫 번째 케이스에 해당하기 위한 조건

은 

 와 같이 다시 표현할 수 있습니다.

 

 

이것의 의미를 다시 정리해서 $f$를 생각해보자면, 

의 원래 그래프에서 함숫값이 $0$ 이상 $1$ 이하인 것만을 취하고,

 

나머지는 두 번째 케이스로 넣어, 그러한 케이스에서는 $f$의 함숫값을 $0$으로 하겠다는 의미가 됩니다.

 

따라서 $f$의 그래프는 아래와 같이 나타납니다.

 

 

 

 

 

또한, $f$는 다음과 같이 고쳐쓸 수 있습니다.

 

 

 

 

그 다음 $g$에 대한 정보를 확인합니다.

 

 

그리고 뒤이어 나오는 정보를 확인합니다.

 

 

 

극소인 점들에 대한 정보가 나오고, 그리고 이들이 나타나는 위치 값의 합이 어떠한 상수($45$)로 주어졌습니다.

 

 

우선 

 의 그래프를 확인해보겠습니다.

 

 

 

 

이와 같이 주기함수의 모양을 하고 있습니다.

 

$g$라는 함수는 

 에 함수 $f$를 곱한 함수를 일정 구간을 정적분한 값을 함숫값으로 취합니다.

 

라는 그래프 위에 $f$의 그래프를 올려놓아보겠습니다. 

 

 

 

 

 

위와 같이 빨간색으로 나타내어진 것이 $f$의 그래프이고, $t$의 값에 따라 좌우로 이동합니다.

 

그리고 $k$의 값이 홀수라고 주어져 있는데, 따라서 $k$는 $1, \ 3, \ 5, \ 7, \  9, \ \cdots$ 와 같은 값들 중 하나로 생각할 수 있습니다.

 

이렇게 가능한 $k$의 값이 2씩 건너뛰는 값이고, 또 $y= \cos \pi x$의 그래프의 주기도 $2$이기 때문에,

 

함수 $g$에 있는 적분 구간에 포함되는 그래프의 모양은 항상 같은 모양으로 나타나게 됩니다.

 

아래 그림과 같이 $k=1, \ k=3$의 경우를 보았을 때 그러하며, 또 다른 $k$를 생각하더라도 똑같은 모양이 구간에 포함됩니다.

 

 

 

 

따라서 아래와 같이 적분구간에 포함되는 코사인함수의 그래프 모양을 일반화할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

이제 이것을 $f$의 그래프와 결합하여 $g$에 있는 정적분 값을 구한다면 함수 $g$를 알아낼 수 있습니다.

 

$g$는 $f$와 코사인 함수의 곱의 정적분으로 이루어져 있는데, $f$가 $t$에 의해 좌우로 평행이동하는 함수이기 때문에

 

$t$에 대한 케이스 분류가 필요합니다.

 

함수 $f$의 $0$이 아닌 부분이 적분 구간에 얼만큼 들어와 있는지에 따라 식을 다르게 표현해주어야 하기 때문입니다.

 

 

case 1:

 

 

 

 

구간 안에 $0$이 아닌 부분이 없는 경우입니다. 이때는 구간 내의 $f$의 함숫값이 $0$이기 때문에, 적분값은 $0$입니다.

 

따라서 이때의 $g$의 함숫값은 $0$입니다.

 

 

 

*앞으로의 케이스를 위해, 다음의 부정적분을 미리 계산해두고 재활용하는 것이 좋습니다.

 

 

 

 

case 2:

 

 

 

구간 안에 그래프의 오른쪽 경사 부분만이 들어와 있는 경우입니다.

 

이때는 오른쪽 경사 부분의 그래프의 식을 이용해서, 구간 내 $f$의 함숫값이 $0$이 아닌 구간만을 적분해줍니다.

 

 

 

* 계산 결과로 나오는 

와 같은 것은

 임을 이용해 정리해주면 좋습니다.

 

* $k$가 포함된 코사인 값은, $k$가 홀수라는 점을 이용하여 처리해 주시면 됩니다.

 

 

 

case 3:

 

 

 

오른쪽 경사 부분은 다 들어와 있지만 왼쪽 경사는 아직 다 들어오지 않은 경우입니다.

 

 

 

 

case 4:

 

 

 

 

왼쪽 경사, 오른쪽 경사 모두 적분 구간 내에 들어와 있는 경우입니다.

 

 

 

case 5:

 

 

 

 

오른쪽 경사 일부가 구간을 빠져나간 경우입니다.

 

 

 

case 6:

 

 

 

왼쪽 경사의 일부만이 남아있는 경우입니다.

 

 

 

 

 

이상을 정리하면 아래와 같습니다.

 

 

 

이로써 $g$를 구하였습니다.

 

이를 이용하여 $g$의 그래프를 그리면 극솟값이 생기는 지점을 알 수 있는데, 저는 이것으로 그래프를 그리기

 

불편하다고 판단하여, $g$를 미분을 하여, 그것을 이용하여 그래프를 그렸습니다.

 

 

 

 

 

이때 

 이므로, 이를 이용하여 $g$의 그래프의 대략적인 개형을 아래와 같이 그릴 수 있습니다.

(아래는 단순한 개형이며, 실제 그래프는 부드러운 곡선으로 이어져 있을 것입니다)

 

 

 

"$g'(t)$ 그래프와 축 사이의 면적"과 "$g(t)$의 증감" 간의 관계를 이용하여 그래프를 그렸습니다.

 

* 위의 두 그림에서 $p, \ q$는 표현은, 함숫값들을 $\pi$가 들어가는 복잡한 수로 나타내기보다는

비례상수로 단순하게 나타내기 위해 사용한 표현입니다

 

 

여기서 

 이 극솟값이 있는 위치임을 알 수 있습니다.

 

이때, 문제의 조건에 의해 이들을 모두 합한 값이 $45$이므로, $k=5$ 입니다.

 

즉, 

에서 함수 $g$는 (음수인) 극솟값을 가집니다.

 

그리고 

를 각각 $g(t)$의 식에 대입하여 얻은 함숫값들은 각각 

 

 

 이므로,

 

최종적으로 구하는 값인

 

의 값을 구하면,

 

$5-((-2)+(-4)+(-4)+(-4)+(-2))=21$ 입니다. 

 

 

 

 

 

이상으로 2018학년도 수능 수학 가형 30번의 풀이를 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

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