[4점공략] 2018 수능 수학 가형 21번

 

 

 

 

2018 수학 가형 21번 문제입니다.

 

객관식 문제 중 가장 어려운 문제가 나오는 번호이고, 출제 영역은 미분입니다.

 

객관식 문제 중 가장 어려운 문제답게 어느정도의 사고력을 요하고 있고,

 

또 미분 외의 다양한 영역과 결합되어 문제가 출제되었습니다.

 

문제 풀이 자체만 본다면 크게 어려운 문제는 아니지만, 각 과정에서 생각을 잘 하지 못하면 쉽게 풀 수 없는 문제라고 생각됩니다.

 

그럼 문제 풀이에 들어가보겠습니다.

 

 

우선 함수 \( f(x) \) 의 주어진 식을 보면서 함수의 그래프 개형을 파악합니다.

 

\( \ln x \)라는, 개형을 흔히 알고 있는 그래프를 이용한 함수의 그래프이기 때문에 미분을 사용하지 않고 쉽게 개형을 알 수 있습니다. 

 

 

 

그리고 그 다음 조건을 읽어내려갑니다. 또 다른 (일차)함수 \( g(x) \)에 대한 설명이 나옵니다.

 

 

 

이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

 

이것의 실질적인 의미는,

 

\( 1 \le x < e \) 의 범위에서는 \( f(x) \)의 그래프가 \( g(x) \)의 그래프 위에 존재하고,

 

\( x \ge e \)의 범위에서는 \( g(x) \)의 그래프가 \( f(x) \) 의 그래프 위에 존재해야 한다는 뜻입니다.

 

즉,

 

 

 

 

와 같이 \( y=g(x) \) 의 그래프가 형성되어야 합니다.

 

 

그리고  \( h(x) \)에 대한 언급이 나오는데, 이를 읽고 분석함으로써 문제 풀이에 필요한 모든 조건을 마저 숙지합니다.

 

 

이제 우리가 관심을 가져야 할 것은, 기울기가 최소가 되도록 하려면 어떻게 해야하는가 입니다.

 

일단 가장 생각하기 쉬운, \( t=0 \)일 때 기울기가 최소인 \( g(x) \)의 그래프는 어떤 모양일까를 생각해본다면,

 

(※ 참고로 t=0은 문제에서의 t의 범위에 해당되지 않습니다. t가 양수인 경우를 쉽게 생각하도록 하기 위해 추가하였습니다)

 

 

 

위의 그림과 같이 \( (1, \ 0), \ (e, \ 1) \)을 지나는 직선이 조건을 만족하면서 기울기가 최소인 직선일 것입니다.

 

그렇다면 \( t \)의 값을 증가시켜서, \( f(x) \)의 \( x=e \) 이후의 그래프가 \( t \)만큼 아래로 내려간 상황일 때는 어떻게 되어야 할지를 생각합니다.

 

 

 

 

 

 

 

위의 그림에서 \( x=1 \) 지점에 대해 생각해봅니다.

 

직선이 \( (1, \  0) \) 보다 위에 있는 점 (즉, \( (1, \ p), \ p>0 \)인 \( (1, \ p) \)) 을 지난다면,

이 직선은 \( g(x) \)의 그래프의 조건을 만족하지 못할 것이고,

 

직선이 \( (1, \ 0) \) 보다 아래에 있는 점 (즉, \( (1, \ p), \ p<0 \)인 \( (1, \ p) \)) 을 지난다면, 이 직선은 \( (1, \ 0) \)을 지날 때에 비해 기울기가 커져서

 

이 직선은 우리가 찾는 최소 기울기를 갖는 직선이 아니게 될 것입니다.

 

따라서, 우리가 찾는 직선은 반드시 \( (1, \ 0) \)을 지나야 합니다.

 

따라서, 

 과 같이 작성할 수 있으며, 이때 기울기 \( m \)은 최소의 기울기입니다.

(생각의 편의를 위해, "조건을 만족하는 \( g(x) \)들 중 기울기가 최소인 \( g(x) \)" 를 \( g(x) \)라고 하겠습니다)

 

 

그 다음 관심을 가져야 할 지점은  \( x=e \) 지점입니다.

 

여기서는  \( x=1 \)에 비해 따져야 될 것이 좀 더 까다롭습니다.

 

\( t=0 \)인 경우처럼 \( (e, \  1) \) (여기서는 \( (e, \ 1-t) \))을 지나게 한다고 했을 때, 아래와 같은 두 가지 상황이 발생할 수 있습니다.

 

 

 

 

왼쪽의 상황은 \( x = e \) 지점에서 직선의 기울기가 \( f(x) \) 의 \( x = e \)에서의 접선의 기울기보다 커서,

 

\( x \ge e \) 에서 \( g(x) \)가  \( f(x) \) 의 위에 있기 때문에,  

 

\( g(x) \)의 조건을 만족하는 경우입니다.

 

 

오른쪽의 상황은 \( x = e \) 지점에서의 직선의 기울기가  \( f(x) \)의  \( x=e \) 에서의 접선의 기울기보다 작아서,

 

\( x \ge e \) 에서 \( g(x) \)가 \( f(x) \)의 아래에 있기 때문에,

 

\( g(x) \)의 조건을 만족하지 못하는 경우입니다.

 

 

 

따라서 오른쪽의 경우에는 우리가 찾고자 하는 직선이 \( (e, \ 1-t) \)를 지나도록 하는 것이 아닌,

 

조건을 만족하도록 하는 다른 점을 지나도록 해야합니다.

 

그 점은 바로 \( x \ge e \) 에서의 \( g(x) \)와 \( f(x) \)의 접점입니다.

 

 

 

 

 

이런 위치 관계에 있다면, \( g(x) \)  의 조건을 만족하면서 기울기가 최소가 될 것입니다.

 

여기서 중요한 것이 또 하나 있습니다.

 

 

 

 

이것에 대한 답은 위에서 지나가듯이 언급하였는데,

 

이 지점은  \( f(x) \) 의 \( x = e \)에서의 접선의 기울기가 더 클 때부터입니다.

 

\( \ln x \)의 그래프는 위로 볼록인(증가폭이 계속 줄어드는) 그래프이기 때문에,  

 

\( f(x) \)의 \( x=e \)에서의 접선의 기울기가 \( g(x) \)의 기울기보다 더 작은 경우에는,

 

\( g(x) \)가 \( (e, \ 1-t) \) 지점을 지나게 하더라도,

 

\( x \ge e \) 의 범위에서 두 그래프가 다시 만나게 될 일은 없기 때문입니다.

 

 

따라서 \( g(x) \) 기울기와, \( f(x) \)의 접선의 기울기 비교를 통해, 그 경계가 되는 \( t \)의 값을 구해냅니다.

 

 

 

 

따라서, \( t > \frac{1}{e} \) 일 때부터는 \( (1, \  0) \)과 두 그래프의 접점을 지나는 직선이 기울기가 최소가 됩니다.

 

\( t \le \frac{1}{e} \) 인 경우, \( (e, \ 1-t) \)의 점과 연결하면 되기 때문에, 

 입니다.

 

이제 \( t > \frac{1}{e} \) 인 경우의 \( h(t) \)를 찾아봅시다.

 

접점에서의 접선의 기울기가 같다, 접점에서의 함숫값이 같다 두 가지를 이용하면 \( t \)와 \( m \)의 관계를 알아낼 수 있을 듯합니다.

 

 

 

여기서 살짝 멈칫하게 됩니다. \( h(t) \)를 구해내기 위해서는 \( m \)을 \( t \)에 대해 정리(\( m = \) ****)해야 할 것 같습니다.

 

왜냐하면 \( h(t) \)의 함숫값이 나타내는 값이 기울기인데, 그 기울기의 값이 \( m \)이기 때문입니다.

 

그런데 \( m \)에 대해 정리하기는 불가능해 보이니 문제입니다.

 

 

그런데, 굳이 그렇게 해야 할 필요가 있을까요?

 

우리가 구하는 값에 따라서 그렇게 해야 할 필요가 있고, 그렇게 할 필요가 없을 수도 있는 것입니다.

 

 

일단 우리가 아는 한, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

여기서 \( - \ln m+m-1 \) 을 \( m \)에 대한 함수로 본다면, \( h \)를 미분하는 것은 합성함수의 미분법일 것입니다.

 

 

미분을 하면,

 

와 같이 됩니다.

 

 

최종적으로 우리가 구해야 하는 값을 살펴봅니다.

 

 

 

\( h'\left( \frac{1}{2e} \right) \)의 경우에는,

 

\( \frac{1}{2e} < \frac{1}{e} \) 이기 때문에, \( t \le \frac{1}{e} \)인 경우입니다. 

 

\( t \le \frac{1}{e} \) 일때 \( h'(t) \)를 구해보면, 

 이므로,

 

 입니다. 

 

 

 

문제의 또다른 조건 중 하나가

인데, 여기서 a가 \( a \le \frac{1}{e} \) 인지, \( a > \frac{1}{e} \) 인지가 중요합니다.

 

그것을 알아야 올바른 함수식에 대입할 수 있기 때문입니다.

 

일단 \( a \le \frac{1}{e} \) 라고 가정해봅니다. 그러면,  

 라는 함수식을 이용해야 합니다.

 

그러면, 

 이고, 파란색 부분을 \( a \)에 대해 정리하면

 

입니다. 그런데 이는 \( \frac{1}{e} \) 보다 큰 값입니다(두 수의 뺄셈을 통해서 알 수 있습니다). 

 

이는 가정에 모순이므로, \( a > \frac{1}{e} \)입니다.

 

따라서, 

 

 

 

따라서, 

 

따라서 최종적으로 구하는 값은 

이 되어,

 

정답은 4번입니다.

 

 

 

풀이가 길지만 이 문제는 계산하는 과정이 어려운 문제는 아닙니다.

 

다만 각 단계에서 생각을 해 내는 것이 조금 어렵기 때문에, 그 부분을 풀어서 설명하다 보니 풀이가 길어진 것입니다.

 

 

사실 이 풀이과정 중에는 실전에서 문제를 풀 때 굳이 일일이 따지지 않고도 넘어갈 수 있는 부분이 많습니다.

 

하지만 평소에 공부할 때는 각 과정을 생각하는 습관을 들이지 않는다면 실전에서 쉽게 스킵할 수 있을 거라 생각하지 않습니다.

 

그러니 평소에 공부할 때는 각 과정에 항상 왜? 라는 의문을 가지고 접근하면 좋을 것 같습니다.

 

 

이상으로 2018학년도 수능 수학 가형 21번 문제의 풀이를 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

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