[4점공략] 2018 수능 수학 가형 21번

 

 

 

 

2018 수학 가형 21번 문제입니다.

 

객관식 문제 중 가장 어려운 문제가 나오는 번호이고, 출제 영역은 미분입니다.

 

객관식 문제 중 가장 어려운 문제답게 어느정도의 사고력을 요하고 있고,

 

또 미분 외의 다양한 영역과 결합되어 문제가 출제되었습니다.

 

문제 풀이 자체만 본다면 크게 어려운 문제는 아니지만, 각 과정에서 생각을 잘 하지 못하면 쉽게 풀 수 없는 문제라고 생각됩니다.

 

그럼 문제 풀이에 들어가보겠습니다.

 

 

우선 함수 $f(x)$ 의 주어진 식을 보면서 함수의 그래프 개형을 파악합니다.

 

$\ln x$라는, 개형을 흔히 알고 있는 그래프를 이용한 함수의 그래프이기 때문에 미분을 사용하지 않고 쉽게 개형을 알 수 있습니다. 

 

 

 

그리고 그 다음 조건을 읽어내려갑니다. 또 다른 (일차)함수 $g(x)$에 대한 설명이 나옵니다.

 

 

 

이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

 

이것의 실질적인 의미는,

 

$1 \le x < e$ 의 범위에서는 $f(x)$의 그래프가 $g(x)$의 그래프 위에 존재하고,

 

$x \ge e$의 범위에서는 $g(x)$의 그래프가 $f(x)$ 의 그래프 위에 존재해야 한다는 뜻입니다.

 

즉,

 

 

 

 

와 같이 $y=g(x)$ 의 그래프가 형성되어야 합니다.

 

 

그리고  $h(x)$에 대한 언급이 나오는데, 이를 읽고 분석함으로써 문제 풀이에 필요한 모든 조건을 마저 숙지합니다.

 

 

이제 우리가 관심을 가져야 할 것은, 기울기가 최소가 되도록 하려면 어떻게 해야하는가 입니다.

 

일단 가장 생각하기 쉬운, $t=0$일 때 기울기가 최소인 $g(x)$의 그래프는 어떤 모양일까를 생각해본다면,

 

(※ 참고로 t=0은 문제에서의 t의 범위에 해당되지 않습니다. t가 양수인 경우를 쉽게 생각하도록 하기 위해 추가하였습니다)

 

 

 

위의 그림과 같이 $(1, \ 0), \ (e, \ 1)$을 지나는 직선이 조건을 만족하면서 기울기가 최소인 직선일 것입니다.

 

그렇다면 $t$의 값을 증가시켜서, $f(x)$의 $x=e$ 이후의 그래프가 $t$만큼 아래로 내려간 상황일 때는 어떻게 되어야 할지를 생각합니다.

 

 

 

 

 

 

 

위의 그림에서 $x=1$ 지점에 대해 생각해봅니다.

 

직선이 $(1, \  0)$ 보다 위에 있는 점 (즉, $(1, \ p), \ p>0$인 $(1, \ p)$) 을 지난다면,

이 직선은 $g(x)$의 그래프의 조건을 만족하지 못할 것이고,

 

직선이 $(1, \ 0)$ 보다 아래에 있는 점 (즉, $(1, \ p), \ p<0$인 $(1, \ p)$) 을 지난다면, 이 직선은 $(1, \ 0)$을 지날 때에 비해 기울기가 커져서

 

이 직선은 우리가 찾는 최소 기울기를 갖는 직선이 아니게 될 것입니다.

 

따라서, 우리가 찾는 직선은 반드시 $(1, \ 0)$을 지나야 합니다.

 

따라서, 

 과 같이 작성할 수 있으며, 이때 기울기 $m$은 최소의 기울기입니다.

(생각의 편의를 위해, "조건을 만족하는 $g(x)$들 중 기울기가 최소인 $g(x)$" 를 $g(x)$라고 하겠습니다)

 

 

그 다음 관심을 가져야 할 지점은  $x=e$ 지점입니다.

 

여기서는  $x=1$에 비해 따져야 될 것이 좀 더 까다롭습니다.

 

$t=0$인 경우처럼 $(e, \  1)$ (여기서는 $(e, \ 1-t)$)을 지나게 한다고 했을 때, 아래와 같은 두 가지 상황이 발생할 수 있습니다.

 

 

 

 

왼쪽의 상황은 $x = e$ 지점에서 직선의 기울기가 $f(x)$ 의 $x = e$에서의 접선의 기울기보다 커서,

 

$x \ge e$ 에서 $g(x)$가  $f(x)$ 의 위에 있기 때문에,  

 

$g(x)$의 조건을 만족하는 경우입니다.

 

 

오른쪽의 상황은 $x = e$ 지점에서의 직선의 기울기가  $f(x)$의  $x=e$ 에서의 접선의 기울기보다 작아서,

 

$x \ge e$ 에서 $g(x)$가 $f(x)$의 아래에 있기 때문에,

 

$g(x)$의 조건을 만족하지 못하는 경우입니다.

 

 

 

따라서 오른쪽의 경우에는 우리가 찾고자 하는 직선이 $(e, \ 1-t)$를 지나도록 하는 것이 아닌,

 

조건을 만족하도록 하는 다른 점을 지나도록 해야합니다.

 

그 점은 바로 $x \ge e$ 에서의 $g(x)$와 $f(x)$의 접점입니다.

 

 

 

 

 

이런 위치 관계에 있다면, $g(x)$  의 조건을 만족하면서 기울기가 최소가 될 것입니다.

 

여기서 중요한 것이 또 하나 있습니다.

 

 

 

 

이것에 대한 답은 위에서 지나가듯이 언급하였는데,

 

이 지점은  $f(x)$ 의 $x = e$에서의 접선의 기울기가 더 클 때부터입니다.

 

$\ln x$의 그래프는 위로 볼록인(증가폭이 계속 줄어드는) 그래프이기 때문에,  

 

$f(x)$의 $x=e$에서의 접선의 기울기가 $g(x)$의 기울기보다 더 작은 경우에는,

 

$g(x)$가 $(e, \ 1-t)$ 지점을 지나게 하더라도,

 

$x \ge e$ 의 범위에서 두 그래프가 다시 만나게 될 일은 없기 때문입니다.

 

 

따라서 $g(x)$ 기울기와, $f(x)$의 접선의 기울기 비교를 통해, 그 경계가 되는 $t$의 값을 구해냅니다.

 

 

 

 

따라서, $t > \frac{1}{e}$ 일 때부터는 $(1, \  0)$과 두 그래프의 접점을 지나는 직선이 기울기가 최소가 됩니다.

 

$t \le \frac{1}{e}$ 인 경우, $(e, \ 1-t)$의 점과 연결하면 되기 때문에, 

 입니다.

 

이제 $t > \frac{1}{e}$ 인 경우의 $h(t)$를 찾아봅시다.

 

접점에서의 접선의 기울기가 같다, 접점에서의 함숫값이 같다 두 가지를 이용하면 $t$와 $m$의 관계를 알아낼 수 있을 듯합니다.

 

 

 

여기서 살짝 멈칫하게 됩니다. $h(t)$를 구해내기 위해서는 $m$을 $t$에 대해 정리($m =$ ****)해야 할 것 같습니다.

 

왜냐하면 $h(t)$의 함숫값이 나타내는 값이 기울기인데, 그 기울기의 값이 $m$이기 때문입니다.

 

그런데 $m$에 대해 정리하기는 불가능해 보이니 문제입니다.

 

 

그런데, 굳이 그렇게 해야 할 필요가 있을까요?

 

우리가 구하는 값에 따라서 그렇게 해야 할 필요가 있고, 그렇게 할 필요가 없을 수도 있는 것입니다.

 

 

일단 우리가 아는 한, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

여기서 $- \ln m+m-1$ 을 $m$에 대한 함수로 본다면, $h$를 미분하는 것은 합성함수의 미분법일 것입니다.

 

 

미분을 하면,

 

와 같이 됩니다.

 

 

최종적으로 우리가 구해야 하는 값을 살펴봅니다.

 

 

 

$h'\left( \frac{1}{2e} \right)$의 경우에는,

 

$\frac{1}{2e} < \frac{1}{e}$ 이기 때문에, $t \le \frac{1}{e}$인 경우입니다. 

 

$t \le \frac{1}{e}$ 일때 $h'(t)$를 구해보면, 

 이므로,

 

 입니다. 

 

 

 

문제의 또다른 조건 중 하나가

인데, 여기서 a가 $a \le \frac{1}{e}$ 인지, $a > \frac{1}{e}$ 인지가 중요합니다.

 

그것을 알아야 올바른 함수식에 대입할 수 있기 때문입니다.

 

일단 $a \le \frac{1}{e}$ 라고 가정해봅니다. 그러면,  

 라는 함수식을 이용해야 합니다.

 

그러면, 

 이고, 파란색 부분을 $a$에 대해 정리하면

 

입니다. 그런데 이는 $\frac{1}{e}$ 보다 큰 값입니다(두 수의 뺄셈을 통해서 알 수 있습니다). 

 

이는 가정에 모순이므로, $a > \frac{1}{e}$입니다.

 

따라서, 

 

 

 

따라서, 

 

따라서 최종적으로 구하는 값은 

이 되어,

 

정답은 4번입니다.

 

 

 

풀이가 길지만 이 문제는 계산하는 과정이 어려운 문제는 아닙니다.

 

다만 각 단계에서 생각을 해 내는 것이 조금 어렵기 때문에, 그 부분을 풀어서 설명하다 보니 풀이가 길어진 것입니다.

 

 

사실 이 풀이과정 중에는 실전에서 문제를 풀 때 굳이 일일이 따지지 않고도 넘어갈 수 있는 부분이 많습니다.

 

하지만 평소에 공부할 때는 각 과정을 생각하는 습관을 들이지 않는다면 실전에서 쉽게 스킵할 수 있을 거라 생각하지 않습니다.

 

그러니 평소에 공부할 때는 각 과정에 항상 왜? 라는 의문을 가지고 접근하면 좋을 것 같습니다.

 

 

이상으로 2018학년도 수능 수학 가형 21번 문제의 풀이를 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

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